Nghịch lý Russell nói rằng nếu cứ có một tính chất là có một tập hợp gồm mọi thứ mang tính chất ấy, thì ta lập được tập của mọi tập không chứa chính nó. Hỏi tập đó có chứa chính nó không, thì câu trả lời có dẫn tới không, và không lại dẫn tới có. Một nền móng như vậy không thể đứng vững.
Chào bạn, đây là Nhà Học Thuật. Đầu thế kỷ hai mươi, một lá thư ngắn đã khiến một trong những công trình logic lớn nhất thời ấy sụp đổ ngay trước khi in xong. Tập này mình kể nghịch lý ấy, và cách toán học tự cứu mình.
Giấc mơ quy toán học về logic
Cuối thế kỷ mười chín, nhà logic học người Đức Gottlob Frege theo đuổi một dự án lớn: chứng minh rằng toàn bộ số học có thể suy ra từ những nguyên lý logic thuần tuý. Nếu thành, số học sẽ chắc chắn như chính logic.
Frege là người đặt nền cho logic hiện đại. Ông xây một ngôn ngữ hình thức đủ chặt để viết mọi suy luận toán học thành từng bước máy móc, điều mà logic của Aristotle không làm được.
Trong hệ của Frege có một nguyên lý trông vô hại: bất kỳ khái niệm nào cũng xác định một tập hợp, gồm mọi thứ thoả khái niệm đó. Khái niệm con mèo cho tập các con mèo. Khái niệm số chẵn cho tập các số chẵn.
Nghe thì quá hiển nhiên. Chính sự hiển nhiên ấy làm cho cú ngã sau đó càng đau.
Tập của mọi tập không chứa chính nó
Bertrand Russell, khi ấy là nhà logic học trẻ người Anh, để ý rằng có những tập chứa chính nó. Tập mọi thứ không phải con mèo, chẳng hạn, bản thân nó cũng không phải con mèo, nên nó là phần tử của chính nó. Còn đa số tập quen thuộc thì không chứa chính nó.
Ông xét khái niệm tập không chứa chính nó. Theo nguyên lý của Frege, khái niệm này cho một tập, gọi là tập R. Câu hỏi: R có chứa chính nó không.
Nếu R chứa chính nó, thì nó phải thoả điều kiện để vào R, tức là không chứa chính nó. Mâu thuẫn. Nếu R không chứa chính nó, thì nó thoả điều kiện, nên phải nằm trong R, tức là chứa chính nó. Lại mâu thuẫn.
Bản dân gian của nghịch lý là người thợ cạo trong làng chỉ cạo cho những ai không tự cạo. Nhưng chính Russell lưu ý bản này yếu hơn: ta chỉ cần kết luận không có người thợ cạo nào như thế. Còn với tập hợp, nguyên lý của Frege bắt buộc tập R phải tồn tại, nên không có lối thoát dễ dàng.
Lá thư năm một nghìn chín trăm linh hai
Russell viết thư cho Frege báo về mâu thuẫn, đúng lúc tập hai công trình chính của Frege đang được in. Frege kịp viết thêm một phụ lục, mở đầu bằng thừa nhận rằng không gì tệ hơn với một nhà khoa học khi nền móng công trình sụp đổ ngay lúc vừa hoàn thành.
Trong thư trả lời Russell, Frege viết, đại ý, phát hiện ấy làm lung lay nền móng mà ông định dựng số học lên trên. Lời thừa nhận ấy về sau được nhiều người, kể cả Russell, xem là một tấm gương về sự trung thực trí tuệ.
Bạn cũng nên biết nhà toán học Ernst Zermelo dường như đã nhận ra một mâu thuẫn tương tự ít lâu trước đó nhưng không công bố rộng. Lịch sử khoa học hay có những phát hiện song song như vậy.
Mâu thuẫn không chỉ đánh vào Frege. Lý thuyết tập hợp của Cantor, khi được dùng một cách tự do, cũng mắc cùng một vấn đề. Toán học đứng trước câu hỏi: nền móng của mình là gì.
Ba con đường cứu nền móng
Russell đề xuất lý thuyết kiểu. Mọi thứ được xếp thành tầng: phần tử ở tầng dưới, tập ở tầng trên, tập của tập ở tầng trên nữa. Một tập chỉ được chứa những thứ ở tầng thấp hơn, nên câu hỏi một tập có chứa chính nó không trở nên vô nghĩa. Cùng Alfred North Whitehead, ông viết bộ Nguyên lý Toán học đồ sộ đầu thập niên mười của thế kỷ hai mươi theo hướng này.
Zermelo đi đường khác: thay vì cho phép mọi khái niệm sinh tập, ông đưa ra một danh sách tiên đề nói rõ những cách hợp lệ để dựng tập, ví dụ chỉ được tách tập con ra từ một tập đã có. Được Abraham Fraenkel và những người khác bổ sung, hệ này trở thành nền chuẩn của toán học ngày nay.
Con đường thứ ba triệt để hơn: trường phái trực giác của Brouwer cho rằng chỉ những đối tượng dựng được bằng các bước cụ thể mới đáng tin, và chấp nhận từ bỏ một số nguyên lý logic cổ điển. Đối lập với họ là chủ nghĩa hình thức của Hilbert.
Cuộc tranh luận giữa các trường phái này là một trong những cuộc tranh luận triết học sôi nổi nhất của thế kỷ hai mươi.
Ngày nay, nền móng ấy chắc đến đâu?
Hệ tiên đề Zermelo Fraenkel, thêm tiên đề chọn, là nền mà gần như mọi nhà toán học mặc nhiên đứng lên. Từ khi được xây, chưa ai tìm ra mâu thuẫn nào trong đó.
Nhưng như định lý bất toàn của Gödel cho thấy vài thập niên sau, ta không thể chứng minh từ bên trong rằng hệ ấy sẽ không bao giờ có mâu thuẫn. Niềm tin vào nền móng dựa trên kinh nghiệm và những lập luận ngoài hệ, không phải chứng minh tuyệt đối.
Gần đây, một hướng khác là lý thuyết kiểu đồng luân, phát triển từ những ý tưởng có họ hàng xa với lý thuyết kiểu của Russell, được dùng làm nền cho các phần mềm kiểm chứng chứng minh bằng máy. Chuyện nền móng nào tốt hơn vẫn còn bàn.
Một câu hỏi tưởng như trò chơi chữ về tập chứa chính nó đã định hình cả cách toán học hiện đại tự nhìn mình. Đôi khi một nghịch lý nhỏ là món quà lớn nhất mà một lĩnh vực nhận được.
Câu hỏi thường gặp
Nghịch lý Russell khác nghịch lý người nói dối thế nào?
Nghịch lý người nói dối xoay quanh một câu tự nói mình sai, thuộc về ngôn ngữ và khái niệm chân lý. Nghịch lý Russell xoay quanh tập hợp và quan hệ thuộc về, nên nó đánh trực tiếp vào nền móng toán học.
Vì sao bản người thợ cạo bị xem là yếu hơn?
Vì với người thợ cạo, ta chỉ việc kết luận rằng không có người thợ cạo nào như vậy. Còn trong hệ của Frege, nguyên lý gốc buộc tập R phải tồn tại, nên mâu thuẫn không né được.
Tiên đề chọn là gì?
Tiên đề chọn nói rằng từ một họ các tập không rỗng, luôn có thể chọn ra mỗi tập một phần tử, kể cả khi họ ấy vô hạn. Nó từng gây tranh cãi vì dẫn tới vài hệ quả kỳ lạ, nhưng nay được dùng rộng rãi.
Bộ Nguyên lý Toán học của Russell và Whitehead có thành công không?
Nó cho thấy một phần lớn toán học có thể viết hoàn toàn trong một hệ hình thức, nhưng cồng kềnh và cần những tiên đề khó gọi là logic thuần tuý. Ảnh hưởng của nó lên logic học thế kỷ hai mươi rất lớn.
Frege có được ghi nhận đúng mức không?
Khi còn sống, công trình của Frege ít được chú ý. Về sau, ông được xem là một trong những người sáng lập logic hiện đại và triết học phân tích.
