Định lý cuối cùng của Fermat nói rằng không có ba số nguyên dương nào mà lập phương của hai số cộng lại bằng lập phương của số thứ ba, và điều đó cũng đúng với mọi luỹ thừa lớn hơn hai. Andrew Wiles chứng minh nó giữa thập niên chín mươi của thế kỷ trước, sau hơn ba thế kỷ, bằng một đường vòng qua những vùng toán học Fermat chưa từng biết.
Chào bạn, đây là Nhà Học Thuật. Đây có lẽ là câu chuyện toán học nổi tiếng nhất từng được kể cho công chúng. Tập này mình kể lại nó, nhưng chú ý vào thứ ít được nhắc: vì sao chứng minh lại phải đi xa đến vậy.
Một dòng ghi chú bên lề sách
Pierre de Fermat là luật gia người Pháp ở thế kỷ mười bảy, làm toán như một niềm say mê. Khoảng năm một nghìn sáu trăm ba mươi bảy, khi đọc một bản dịch sách số học cổ của Diophantus, ông ghi bên lề rằng mình đã tìm ra một chứng minh tuyệt diệu, nhưng lề sách quá hẹp để viết ra.
Ghi chú ấy chỉ được biết đến khi con trai ông in lại cuốn sách kèm các ghi chú sau khi ông mất. Các khẳng định khác của Fermat dần được chứng minh hoặc bác bỏ, chỉ còn câu này trơ trọi, nên được gọi là định lý cuối cùng.
Fermat để lại chứng minh cho trường hợp luỹ thừa bốn, bằng kỹ thuật ông gọi là xuống thang vô hạn. Euler xử lý trường hợp luỹ thừa ba ở thế kỷ mười tám. Sau đó Sophie Germain, Kummer và nhiều người khác chinh phục được những họ trường hợp lớn, nhưng không ai giải được trọn.
Ngày nay, giới toán học gần như chắc chắn Fermat không có chứng minh đúng. Nhiều khả năng ông đã tưởng mình có, rồi phát hiện lỗi, nhưng không quay lại xoá dòng ghi chú.
Cây cầu bất ngờ tới đường cong elliptic
Bước ngoặt đến từ một hướng không ai ngờ. Từ những năm năm mươi, hai nhà toán học Nhật Bản Yutaka Taniyama và Goro Shimura nêu ra, rồi được André Weil và nhiều người hoàn thiện, một giả thuyết: mọi đường cong elliptic trên số hữu tỉ đều có một người anh em song sinh trong thế giới dạng modular.
Nói nôm na, đường cong elliptic là một loại phương trình bậc ba hai ẩn, nằm ở trung tâm lý thuyết số. Dạng modular là những hàm có độ đối xứng cao đến khó tin, thuộc về giải tích. Giả thuyết nói hai thế giới tưởng chừng xa lạ ấy thật ra khớp nhau từng cặp.
Giữa thập niên tám mươi, Gerhard Frey gợi ý rằng nếu có một nghiệm của phương trình Fermat, ta dựng được một đường cong elliptic kỳ quái đến mức không thể có anh em modular. Năm một nghìn chín trăm tám mươi sáu, Ken Ribet chứng minh chặt chẽ điều đó.
Vậy chỉ cần chứng minh giả thuyết Taniyama Shimura, ít nhất cho một lớp đường cong đủ rộng, là định lý Fermat tự động đúng. Bài toán cổ đã được nối vào trung tâm của toán học hiện đại.
Bảy năm trên gác mái
Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, kể rằng ông gặp bài toán Fermat từ năm lên mười trong một thư viện. Khi nghe tin về kết quả của Ribet, ông quyết định dồn sức vào giả thuyết Taniyama Shimura, một mục tiêu mà phần đông đồng nghiệp coi là chưa thể với tới.
Ông làm gần như bí mật khoảng bảy năm, phần lớn thời gian trong phòng làm việc trên gác ở nhà. Lý do ông đưa ra là muốn giữ sự tập trung: một khi công bố đang làm Fermat, sẽ có quá nhiều chú ý và áp lực.
Tháng sáu năm một nghìn chín trăm chín mươi ba, trong một loạt bài giảng ở Cambridge, ông trình bày chứng minh. Báo chí khắp thế giới đưa tin. Nhưng trong quá trình thẩm định bản thảo dài, người phản biện phát hiện một lỗ hổng ở một bước then chốt.
Wiles kể sau này rằng hơn một năm sửa lỗi ấy là quãng thời gian khó khăn nhất. Cùng với học trò cũ là Richard Taylor, ông tìm được cách vá vào mùa thu năm một nghìn chín trăm chín mươi tư, bằng cách quay lại một hướng tiếp cận từng bỏ dở. Bài báo hoàn chỉnh được đăng năm sau đó.
Vì sao chứng minh phải dài đến vậy?
Câu hỏi tự nhiên là: bài toán phát biểu bằng toán cấp hai, sao chứng minh lại cần hàng trăm trang của toán học cao cấp nhất. Câu trả lời thật thà là chưa ai biết có đường ngắn hay không.
Những bài toán số học đơn giản bề ngoài thường che giấu cấu trúc sâu. Để nói một điều chắc chắn về mọi luỹ thừa, mọi bộ số, ta cần một bộ máy nắm được toàn bộ cấu trúc đó, và bộ máy ấy chỉ được xây trong thế kỷ hai mươi.
Giá trị lớn nhất của công trình Wiles không phải là gạch tên Fermat khỏi danh sách. Nó là việc chứng minh một phần lớn giả thuyết Taniyama Shimura, phần còn lại được nhóm của Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond và Richard Taylor hoàn tất vài năm sau, và các công cụ mới mở đường cho cả chương trình Langlands.
Fermat, theo một nghĩa, là lý do để toán học xây những cây cầu mà nếu không có ông, có lẽ sẽ được xây muộn hơn nhiều.
Vinh danh và bài học về sự kiên nhẫn
Năm Wiles hoàn tất chứng minh, ông đã quá bốn mươi tuổi, vượt giới hạn tuổi của huy chương Fields. Liên đoàn Toán học Quốc tế trao cho ông một tấm bảng bạc đặc biệt, một sự ghi nhận hiếm có. Năm hai nghìn không trăm mười sáu, ông nhận giải Abel.
Câu chuyện Wiles hay được kể như huyền thoại thiên tài cô độc. Thật ra chứng minh của ông dựa trên công trình của hàng chục người trước, và được hoàn thiện nhờ một người cộng sự. Toán học đỉnh cao hiếm khi là việc của một người.
Chi tiết đáng nhớ hơn có lẽ là thái độ trước lỗ hổng. Thay vì giấu hay chống chế, ông thừa nhận, quay lại làm việc, và chấp nhận rằng có thể mình sẽ thất bại trước toàn thế giới.
Có những câu hỏi đơn giản phải chờ cả nhân loại lớn lên mới trả lời được. Bạn đang mang theo câu hỏi nào như thế.
Câu hỏi thường gặp
Fermat có thật sự có chứng minh không?
Hầu hết các nhà toán học cho rằng không. Những công cụ cần cho chứng minh hiện biết chỉ ra đời mấy trăm năm sau ông, và có nhiều cách chứng minh sai trông có vẻ đúng mà Fermat có thể đã mắc phải.
Đường cong elliptic có liên quan gì tới hình elip không?
Không trực tiếp. Tên gọi đến từ mối liên hệ lịch sử với việc tính độ dài cung elip. Ngày nay đường cong elliptic còn được dùng trong mật mã học bảo vệ giao dịch trên mạng.
Giải Abel là giải gì?
Giải Abel là giải thưởng toán học do Na Uy lập ra, trao hằng năm từ đầu những năm hai nghìn, thường được so sánh như giải Nobel của toán học. Khác huy chương Fields, giải này không giới hạn tuổi.
Chương trình Langlands là gì?
Đó là một mạng lưới giả thuyết sâu rộng nối lý thuyết số với giải tích và hình học, do Robert Langlands đề xuất cuối thập niên sáu mươi. Giả thuyết Taniyama Shimura có thể xem như một trường hợp nhỏ của tầm nhìn đó.
Có ai từng tuyên bố chứng minh Fermat sai trước Wiles không?
Có rất nhiều, cả người nghiệp dư lẫn nhà toán học chuyên nghiệp. Đã từng có giải thưởng tiền mặt cho lời giải, khiến hàng nghìn bản chứng minh sai được gửi tới các viện toán học.
