Vô hạn có lớn có nhỏ vì Cantor tìm ra cách so sánh chúng bằng phép ghép cặp từng phần tử. Theo cách đó, tập số tự nhiên và tập số chẵn lớn bằng nhau, nhưng tập mọi số thực trên trục số thì lớn hơn hẳn, không thể ghép cặp hết với số tự nhiên.
Chào bạn, đây là Nhà Học Thuật. Ý tưởng này từng bị nhiều nhà toán học lớn thời ấy phản đối kịch liệt, rồi lại trở thành nền móng của toán học hiện đại. Tập này mình kể lập luận của Cantor bằng lời, không cần một ký hiệu nào.
So sánh hai tập vô hạn bằng cách nào?
Hãy tưởng tượng một hội trường, bạn muốn biết số ghế và số người có bằng nhau không mà không cần đếm. Cách đơn giản là bảo mọi người ngồi xuống. Nếu không ai đứng, không ghế nào trống, hai số bằng nhau. Đó là phép ghép cặp.
Cantor, vào nửa sau thế kỷ mười chín, đề xuất dùng chính phép ghép cặp làm định nghĩa cho cùng cỡ, kể cả với tập vô hạn. Hệ quả ban đầu rất lạ. Ghép mỗi số tự nhiên với gấp đôi của nó, ta thấy số tự nhiên và số chẵn cùng cỡ, dù số chẵn chỉ là một phần.
Với tập hữu hạn, một phần luôn nhỏ hơn toàn thể. Với vô hạn, điều đó không còn đúng. Galileo đã từng để ý điều kỳ lạ này và cho rằng không nên so sánh vô hạn. Cantor thì chấp nhận nó như một đặc trưng của vô hạn.
Ông còn chỉ ra cả số hữu tỉ, tức mọi phân số, cũng ghép cặp được với số tự nhiên, nghĩa là xếp thành một hàng được. Tập nào xếp hàng được như vậy gọi là đếm được.
Lập luận đường chéo: vô hạn lớn hơn xuất hiện
Câu hỏi tiếp theo là có tập vô hạn nào không xếp hàng được không. Cantor chứng minh tập các số thực, những số có thể có vô số chữ số sau dấu phẩy, là một tập như vậy. Phiên bản chứng minh nổi tiếng nhất, gọi là lập luận đường chéo, ông công bố vào đầu thập niên chín mươi của thế kỷ mười chín.
Giả sử có ai khoe đã xếp được mọi số thực giữa không và một thành một danh sách dài vô tận. Ta tạo một số mới như sau: chữ số thứ nhất sau dấu phẩy khác chữ số thứ nhất của số thứ nhất trong danh sách, chữ số thứ hai khác chữ số thứ hai của số thứ hai, và cứ thế đi chéo xuống.
Số mới này khác mọi số trong danh sách, ít nhất ở một chữ số. Vậy danh sách đã bỏ sót nó. Dù danh sách nào cũng vậy. Tức là số thực không thể xếp thành hàng, chúng nhiều hơn số tự nhiên.
Cùng tinh thần ấy, Cantor chứng minh với bất kỳ tập nào, tập mọi tập con của nó luôn lớn hơn nó. Vậy không có vô hạn lớn nhất. Trên mỗi tầng vô hạn luôn có một tầng cao hơn.
Khách sạn vô hạn của Hilbert
Để cảm được sự kỳ lạ này, David Hilbert từng kể về một khách sạn có vô số phòng, phòng nào cũng kín khách. Một vị khách mới đến. Quản lý chỉ cần mời người phòng một sang phòng hai, phòng hai sang phòng ba, cứ thế. Phòng một trống, khách mới vào ở.
Một chiếc xe chở vô số khách đến. Quản lý mời người phòng số mấy chuyển sang phòng số gấp đôi. Mọi phòng lẻ trống ra, đủ chỗ cho vô số khách mới.
Nhưng nếu đoàn khách mới đông như tập số thực, thì không cách xếp phòng nào đủ. Lập luận đường chéo chính là lý do. Khách sạn vô hạn chỉ chứa được những đoàn khách đếm được.
Câu chuyện này không phải trò đùa. Nó cho thấy trực giác hữu hạn của ta về chỗ chật, chỗ rộng không dùng được cho vô hạn, và cần một khái niệm mới để nghĩ cho đúng.
Vì sao Cantor bị phản đối dữ dội?
Nhiều nhà toán học thời ấy thấy ý tưởng về các vô hạn thực sự, tồn tại trọn vẹn như một khối, là đáng ngờ. Người phản đối nổi tiếng nhất là Leopold Kronecker, vốn chỉ muốn chấp nhận những đối tượng toán học dựng được từ số nguyên bằng các bước hữu hạn.
Có câu được cho là của Kronecker, đại ý Chúa tạo ra số nguyên, mọi thứ khác là việc của con người. Tranh luận giữa hai người có cả yếu tố triết học lẫn yếu tố nghề nghiệp, và nó kéo dài nhiều năm.
Cantor trải qua những giai đoạn trầm cảm nặng trong đời. Các nhà viết tiểu sử thận trọng khi gán nguyên nhân, vì bệnh của ông có thể có nhiều gốc rễ, nhưng sự cô lập về học thuật chắc chắn không giúp gì.
Đến đầu thế kỷ hai mươi, lý thuyết tập hợp được chấp nhận rộng rãi. Hilbert có câu nổi tiếng, đại ý không ai có thể đuổi chúng ta ra khỏi thiên đường mà Cantor đã tạo ra.
Câu hỏi continuum: có cỡ vô hạn nào ở giữa không?
Cantor để lại một câu hỏi ông không giải được: giữa cỡ của số tự nhiên và cỡ của số thực, có cỡ vô hạn nào nằm ở giữa không. Ông tin là không. Niềm tin này gọi là giả thuyết continuum, và Hilbert đặt nó ở vị trí đầu tiên trong danh sách các bài toán lớn ông nêu năm một nghìn chín trăm.
Câu trả lời đến theo một cách không ai ngờ. Năm một nghìn chín trăm bốn mươi, Gödel chứng minh rằng thêm giả thuyết ấy vào hệ tiên đề chuẩn không gây mâu thuẫn. Năm một nghìn chín trăm sáu mươi ba, Paul Cohen chứng minh rằng thêm phủ định của nó cũng không gây mâu thuẫn.
Nghĩa là với những tiên đề toán học đang dùng, câu hỏi này không có câu trả lời. Cohen nhận huy chương Fields cho công trình ấy. Đến nay, các nhà lý thuyết tập hợp vẫn tranh luận có nên tìm thêm tiên đề mới để quyết định nó hay không, và nếu có thì tiên đề nào là tự nhiên.
Thử nghĩ xem: một câu hỏi đơn giản đến mức học sinh cũng hiểu được, mà toàn bộ nền móng toán học hiện tại không trả lời được. Vô hạn vẫn còn giữ lại cho mình vài bí mật.
Câu hỏi thường gặp
Tập đếm được là gì?
Tập đếm được là tập có thể xếp các phần tử thành một hàng đánh số một, hai, ba, kể cả khi hàng ấy dài vô tận. Số tự nhiên, số nguyên và phân số đều là tập đếm được.
Có nhiều điểm trên một đoạn thẳng ngắn hơn trên cả mặt phẳng không?
Không. Cantor chứng minh một đoạn thẳng ngắn và cả một mặt phẳng có cùng cỡ vô hạn. Ông từng viết cho bạn rằng ông thấy điều đó nhưng không tin nổi.
Lập luận đường chéo còn được dùng ở đâu?
Ý tưởng đường chéo xuất hiện trong chứng minh định lý bất toàn của Gödel và trong chứng minh của Turing rằng có bài toán không máy nào giải được. Đây là một trong những kỹ thuật chứng minh có ảnh hưởng nhất của toán học.
Vô hạn trong toán học có giống vô hạn trong vật lý không?
Không nhất thiết. Toán học xử lý vô hạn như những đối tượng được định nghĩa chặt chẽ, còn vật lý có tồn tại thứ gì thật sự vô hạn hay không là một câu hỏi khác và vẫn còn mở.
Hilbert nêu danh sách bài toán lớn trong dịp nào?
Ông trình bày danh sách các bài toán tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Paris năm một nghìn chín trăm. Danh sách này định hướng một phần lớn nghiên cứu toán học của thế kỷ hai mươi.
