Giả thuyết Poincaré khẳng định rằng một không gian ba chiều khép kín, không biên, trong đó mọi vòng dây đều có thể co lại thành một điểm mà không bị vướng, thì về bản chất chính là mặt cầu ba chiều. Grigori Perelman chứng minh nó trong mấy bản thảo đăng trực tuyến đầu những năm hai nghìn.
Chào bạn, đây là Nhà Học Thuật. Đây là bài toán duy nhất trong bảy bài toán Thiên niên kỷ đã được giải, và người giải lại quay lưng với mọi vinh quang. Tập này mình giải thích bài toán bằng hình ảnh, rồi kể câu chuyện con người phía sau.
Tô pô học: hình học của đất sét
Tô pô học là ngành nghiên cứu những tính chất không đổi khi ta kéo giãn, uốn cong một vật mà không xé rách hay dán thêm. Với nhà tô pô học, chiếc cốc có quai và chiếc bánh vòng là một, vì cả hai có đúng một lỗ.
Với mặt hai chiều như vỏ quả bóng, có một phép thử đơn giản. Quấn một sợi dây thun quanh quả bóng, bạn luôn trượt được nó thu lại thành một điểm. Trên bề mặt chiếc phao bơi, sợi dây quấn vòng qua lỗ thì không thu lại được.
Từ thế kỷ mười chín, người ta đã biết rằng trong các mặt hai chiều khép kín, chỉ có mặt cầu là thoả phép thử sợi dây. Năm một nghìn chín trăm linh tư, Henri Poincaré hỏi điều tương tự có đúng cho không gian ba chiều không.
Khó ở chỗ ta sống trong ba chiều nên không thể đứng ra ngoài mà nhìn một không gian ba chiều cong khép kín. Mọi lập luận phải đi từ bên trong.
Lạ thay, ba chiều lại khó nhất
Trong nhiều thập niên, giả thuyết kéo dài với vô số chứng minh sai. Rồi điều bất ngờ xảy ra: chiều cao hơn lại dễ hơn. Đầu thập niên sáu mươi, Stephen Smale chứng minh phiên bản cho từ năm chiều trở lên. Đầu thập niên tám mươi, Michael Freedman giải được bốn chiều. Cả hai đều nhận huy chương Fields.
Lý do nôm na là ở chiều cao, có nhiều chỗ để xoay xở, gỡ những nút thắt. Ở ba chiều, không gian vừa đủ chật để mọi thứ vướng vào nhau mà lại chưa đủ đơn giản như hai chiều.
Cũng trong thời gian ấy, William Thurston đề xuất một tầm nhìn lớn hơn: mọi không gian ba chiều khép kín đều có thể cắt thành những mảnh, mỗi mảnh mang một trong tám kiểu hình học chuẩn. Giả thuyết hình học hoá này bao trùm cả Poincaré như một trường hợp riêng.
Năm hai nghìn, Viện Toán học Clay xếp Poincaré vào danh sách bảy bài toán Thiên niên kỷ, mỗi bài treo giải một triệu đô la Mỹ.
Dòng Ricci: để hình dạng tự là phẳng
Công cụ quyết định đến từ Richard Hamilton, đầu thập niên tám mươi. Ý tưởng của ông giống cách nhiệt lan toả: cho một không gian cong co giãn theo thời gian sao cho chỗ cong nhiều thì giãn ra, chỗ cong ít được bù lại, giống nhiệt độ trong thanh kim loại dần đều ra.
Nếu khởi đầu từ một không gian thoả phép thử sợi dây, ta hy vọng dòng chảy này sẽ làm nó tròn dần thành mặt cầu hoàn hảo. Vấn đề là trên đường đi, có những chỗ có thể thắt lại như cổ chai, tạo ra những điểm kỳ dị nơi độ cong vọt lên vô hạn.
Hamilton chứng minh được nhiều trường hợp, nhưng không kiểm soát được hết các kiểu kỳ dị. Chương trình của ông bị kẹt ở đó gần hai thập niên.
Perelman làm được hai việc then chốt: chỉ ra những kỳ dị có hình dạng dễ kiểm soát, và chỉ cách cắt bỏ chúng một cách có tổ chức, phẫu thuật rồi để dòng chảy tiếp tục. Nhờ vậy, ông chứng minh được cả giả thuyết hình học hoá của Thurston.
Ba bản thảo không qua tạp chí
Giữa tháng mười một năm hai nghìn không trăm linh hai và giữa năm sau, Perelman đăng ba bản thảo lên một kho lưu trữ trực tuyến mở, không gửi tạp chí nào. Các bản thảo rất cô đọng, nhiều bước chỉ phác.
Cộng đồng toán học mất khoảng ba năm, với nhiều nhóm làm việc độc lập, viết ra hàng trăm trang chi tiết để kiểm tra. Đến khoảng năm hai nghìn không trăm linh sáu, giới chuyên môn đi đến đồng thuận rằng chứng minh là đúng.
Giai đoạn này có cả tranh cãi không vui về việc ai được ghi công cho phần hoàn thiện chi tiết. Perelman, theo những gì được thuật lại, rất thất vọng với chuẩn mực đạo đức của giới toán học khi đó.
Cách công bố của ông cũng là một tiền lệ đáng nhớ: một kết quả lớn bậc nhất thế kỷ được chấp nhận mà không qua quy trình bình duyệt của tạp chí truyền thống.
Người từ chối vinh quang
Năm hai nghìn không trăm linh sáu, Perelman được trao huy chương Fields. Ông không đến nhận, và là người đầu tiên từ chối giải thưởng này. Năm hai nghìn không trăm mười, Viện Clay trao giải Thiên niên kỷ, ông cũng từ chối.
Theo các thuật lại báo chí, ông nói không quan tâm đến tiền hay danh tiếng, và cho rằng đóng góp của Hamilton không hề kém mình. Ông rời công việc nghiên cứu chính thức và sống kín đáo.
Người ngoài hay biến ông thành biểu tượng lập dị. Có lẽ công bằng hơn là xem đó là lựa chọn của một người coi trọng bản thân bài toán hơn mọi thứ xung quanh nó, dù ta có đồng ý hay không.
Câu chuyện để lại một câu hỏi lơ lửng: nếu một kết quả lớn được tôn vinh nhưng người làm ra nó không muốn được tôn vinh, thì giải thưởng đang phục vụ ai.
Câu hỏi thường gặp
Mặt cầu ba chiều là gì?
Đó là phiên bản ba chiều của vỏ quả bóng: một không gian ba chiều khép kín, không có biên, cong đều. Ta không hình dung trực tiếp được, nhưng có thể mô tả chính xác bằng toán học.
Giả thuyết Poincaré có cho biết hình dạng vũ trụ không?
Không trực tiếp. Nó là một kết quả toán học về các không gian ba chiều có thể có. Vũ trụ thật có hình dạng gì phải do quan sát thiên văn trả lời, và đến nay câu hỏi đó vẫn còn mở.
Bảy bài toán Thiên niên kỷ gồm những bài nào?
Ngoài Poincaré, danh sách gồm giả thuyết Riemann, bài toán P và NP, phương trình Navier Stokes, lý thuyết Yang Mills, giả thuyết Hodge và giả thuyết Birch và Swinnerton Dyer. Sáu bài còn lại chưa được giải.
Richard Hamilton có được ghi nhận không?
Có. Ông nhận nhiều giải thưởng lớn cho công trình về dòng Ricci, trong đó có giải Shaw. Chính Perelman cũng nhấn mạnh vai trò nền tảng của Hamilton.
Vì sao chứng minh được kiểm tra lâu như vậy?
Vì bản thảo của Perelman rất cô đọng, nhiều bước then chốt chỉ được phác ra. Các nhóm kiểm tra phải tự viết lại đầy đủ từng chi tiết, công việc cần nhiều chuyên gia hàng đầu trong nhiều năm.
