Giả thuyết Riemann nói rằng mọi nghiệm không tầm thường của một hàm đặc biệt, gọi là hàm zeta Riemann, đều nằm trên cùng một đường thẳng. Phát biểu nghe xa lạ, nhưng ý nghĩa của nó rất gần: nếu đúng, số nguyên tố, dù xuất hiện có vẻ lộn xộn, sẽ dao động quanh quy luật trung bình của chúng ở mức nhỏ nhất có thể.
Chào bạn, đây là Nhà Học Thuật. Nhiều nhà toán học xem đây là bài toán mở quan trọng nhất của toán học thuần tuý. Tập này mình kể nó bắt đầu từ đâu, vì sao nó quan trọng, và vì sao nó lại có dính dáng tới vật lý hạt nhân.
Số nguyên tố thưa dần theo quy luật
Số nguyên tố là những số chỉ chia hết cho một và chính nó: hai, ba, năm, bảy, mười một. Chúng là những viên gạch của mọi số tự nhiên. Euclid đã chứng minh từ thời cổ đại rằng có vô số số nguyên tố.
Nhìn từng số, chúng xuất hiện rất lộn xộn. Có lúc hai số nguyên tố đứng sát nhau, có lúc cách nhau một khoảng dài. Nhưng nhìn từ xa, chúng thưa dần theo một quy luật khá đều.
Gauss khi còn trẻ đã đoán ra quy luật ấy: quanh một số lớn, mật độ số nguyên tố tỷ lệ nghịch với một đại lượng gọi là logarit của số đó. Gần cuối thế kỷ mười chín, Jacques Hadamard và Charles de la Vallée Poussin độc lập chứng minh điều này, gọi là định lý số nguyên tố.
Nhưng định lý chỉ nói về xu hướng trung bình. Câu hỏi là số nguyên tố thật lệch khỏi xu hướng ấy bao nhiêu. Đó là chỗ Riemann bước vào.
Bài báo tám trang
Năm một nghìn tám trăm năm mươi chín, Bernhard Riemann, khi được bầu vào Viện Hàn lâm Berlin, nộp một bài báo về số các số nguyên tố nhỏ hơn một giá trị cho trước. Đó là bài báo duy nhất của ông về lý thuyết số, dài khoảng tám trang.
Riemann nghiên cứu một hàm mà Euler trước đó đã dùng, mở rộng nó sang số phức, và chỉ ra rằng cách phân bố số nguyên tố được quyết định bởi những điểm mà hàm này bằng không, gọi là các nghiệm.
Có những nghiệm dễ tìm, gọi là nghiệm tầm thường. Những nghiệm còn lại thì nằm trong một dải hẹp. Riemann viết rằng rất có khả năng tất cả chúng nằm trên đúng đường thẳng ở giữa dải, gọi là đường tới hạn, và nói ông đã tạm gác việc tìm chứng minh vì nó không cần cho mục đích trước mắt.
Câu nhận xét ngắn ngủi ấy trở thành giả thuyết nổi tiếng nhất toán học.
Vì sao nó quan trọng đến vậy?
Hãy hình dung mỗi nghiệm như một nốt nhạc, và sự phân bố số nguyên tố là bản nhạc tổng hợp của tất cả các nốt ấy. Riemann chỉ ra công thức tường minh nối hai thứ. Vị trí các nghiệm quyết định độ lệch của số nguyên tố khỏi xu hướng trung bình.
Nếu mọi nghiệm nằm trên đường tới hạn, độ lệch ấy là nhỏ nhất có thể. Số nguyên tố, dù lộn xộn từng cái, lại phân bố đều đặn đến mức tối đa.
Hàng trăm định lý trong lý thuyết số được chứng minh với điều kiện giả thuyết Riemann đúng. Nếu nó đúng, tất cả trở thành định lý thật. Nếu nó sai, nhiều thứ phải xem lại.
Năm một nghìn chín trăm, Hilbert đưa nó vào danh sách các bài toán lớn của thế kỷ. Có một giai thoại kể rằng ông nói nếu được đánh thức sau năm trăm năm ngủ, câu đầu tiên ông hỏi sẽ là giả thuyết Riemann đã được chứng minh chưa. Năm hai nghìn, nó trở thành một trong bảy bài toán Thiên niên kỷ.
Bằng chứng tính toán và một cuộc gặp bên tách trà
Máy tính đã kiểm tra hàng nghìn tỷ nghiệm đầu tiên, và tất cả đều nằm đúng trên đường tới hạn. Nhưng trong lý thuyết số, bằng chứng tính toán không đủ: có những giả thuyết đúng với những số rất lớn rồi mới sai.
Đầu thập niên bảy mươi, nhà toán học Hugh Montgomery nghiên cứu khoảng cách giữa các nghiệm. Trong một buổi uống trà ở Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton, ông kể kết quả với nhà vật lý Freeman Dyson. Dyson nhận ra ngay công thức ấy trùng với công thức mô tả khoảng cách giữa các mức năng lượng trong hạt nhân nguyên tử nặng, theo lý thuyết ma trận ngẫu nhiên.
Sự trùng hợp ấy gợi ý rằng các nghiệm có thể là những mức năng lượng của một hệ vật lý nào đó chưa biết. Nếu tìm được hệ ấy, có thể giả thuyết sẽ được chứng minh. Ý tưởng này, có gốc từ trước đó với Hilbert và Pólya, vẫn chưa thành hiện thực.
Tính toán sau này cho thấy sự trùng khớp chính xác đến kinh ngạc. Không ai giải thích được hoàn toàn vì sao số nguyên tố lại hát cùng giai điệu với hạt nhân nguyên tử.
Những lần suýt giải và chỗ đứng hôm nay
Nhiều nhà toán học lớn đã thử và để lại những kết quả từng phần quan trọng. Người ta chứng minh được có vô số nghiệm nằm trên đường tới hạn, và một tỷ lệ đáng kể các nghiệm nằm trên đó, nhưng chưa phải tất cả.
Thỉnh thoảng có người tuyên bố đã chứng minh, kể cả những nhà toán học danh tiếng. Năm hai nghìn không trăm mười tám, nhà toán học lừng danh Michael Atiyah trình bày một chứng minh ở tuổi gần chín mươi, nhưng giới chuyên môn không chấp nhận.
Có những phiên bản tương tự của giả thuyết cho các đối tượng khác đã được chứng minh, nổi bật là công trình của André Weil và Pierre Deligne trong hình học đại số. Chúng cho niềm tin rằng giả thuyết gốc là đúng, nhưng con đường từ đó sang giả thuyết gốc chưa ai tìm ra.
Một câu hỏi ghi chú vội trong bài báo tám trang đã đi qua hơn một trăm sáu mươi năm. Có những câu hỏi mà chính việc chúng chưa có lời đáp đã nuôi cả một ngành toán học.
Câu hỏi thường gặp
Số phức là gì và vì sao cần nó?
Số phức mở rộng số thực bằng cách thêm một đơn vị mới mà bình phương của nó bằng âm một. Hàm zeta chỉ bộc lộ hết cấu trúc khi được xét trên số phức, giống như một bản đồ phải có cả kinh độ và vĩ độ.
Giả thuyết Riemann có liên quan tới mật mã không?
Liên quan gián tiếp. Mật mã dùng số nguyên tố lớn, nhưng chứng minh giả thuyết Riemann không tự động cho cách phá mã. Một số thuật toán kiểm tra số nguyên tố có thời gian chạy được bảo đảm tốt hơn nếu giả thuyết đúng.
Định lý số nguyên tố nói gì?
Nó nói rằng số các số nguyên tố nhỏ hơn một số lớn xấp xỉ bằng số đó chia cho logarit tự nhiên của nó. Nói cách khác, số nguyên tố thưa dần một cách có quy luật.
Ai là Bernhard Riemann?
Ông là nhà toán học Đức thế kỷ mười chín, có đóng góp nền tảng cho hình học, giải tích và lý thuyết số. Hình học Riemann của ông về sau trở thành ngôn ngữ toán học của thuyết tương đối rộng.
Có thể chứng minh giả thuyết Riemann sai không?
Về nguyên tắc có, chỉ cần tìm một nghiệm không tầm thường nằm ngoài đường tới hạn. Nhưng hàng nghìn tỷ nghiệm đã kiểm tra đều nằm trên đường ấy, và phần lớn nhà toán học tin giả thuyết là đúng.
