Phương trình Navier và Stokes là bộ định luật mô tả chất lỏng và chất khí chảy ra sao khi có ma sát bên trong. Kỹ sư dùng chúng mỗi ngày. Câu hỏi còn mở là: trong không gian ba chiều, bắt đầu từ một dòng chảy êm, lời giải của phương trình có luôn êm mãi, hay có thể đến lúc vận tốc ở một điểm vọt lên vô hạn. Chưa ai biết.
Chào bạn, đây là Nhà Học Thuật. Thật lạ khi một bài toán treo giải một triệu đô la Mỹ lại nằm ngay trong dòng nước chảy từ vòi nhà bạn. Tập này mình kể vì sao những phương trình ai cũng dùng lại giữ một bí ẩn sâu như vậy.
Những phương trình có mặt khắp nơi
Đầu thế kỷ mười chín, kỹ sư người Pháp Claude Louis Navier viết ra phương trình chuyển động cho chất lỏng có tính nhớt, tức ma sát bên trong. Vài thập niên sau, nhà vật lý George Stokes ở Anh dẫn ra lại một cách chặt chẽ hơn.
Về bản chất, phương trình chỉ là định luật hai của Newton áp dụng cho từng giọt chất lỏng: lực bằng khối lượng nhân gia tốc, với các lực là áp suất và ma sát giữa các lớp chất lỏng, cộng thêm điều kiện chất lỏng không bị nén.
Từ đó mà có dự báo thời tiết, thiết kế cánh máy bay, mô hình dòng máu trong mạch, khí động học của xe hơi, dòng hải lưu. Máy tính giải gần đúng chúng hàng ngày với độ chính xác đủ dùng.
Vậy bài toán còn mở ở chỗ nào. Không phải ở chỗ tính gần đúng, mà ở chỗ hiểu toán học chính xác của chúng.
Câu hỏi triệu đô: lời giải có bùng nổ không?
Câu hỏi của Viện Toán học Clay, nói nôm na, là thế này: cho một dòng chảy ba chiều ban đầu êm, năng lượng hữu hạn, liệu phương trình luôn có một lời giải êm mãi mãi, hay có thể đến một thời điểm hữu hạn, vận tốc ở đâu đó trở nên vô hạn.
Nếu lời giải bùng nổ, phương trình tự báo rằng nó không còn mô tả đúng chất lỏng ở thang ấy, vì nước thật không có vận tốc vô hạn. Nếu không bùng nổ, ta có bảo đảm toán học rằng mô hình luôn hợp lệ.
Trong hai chiều, câu hỏi đã được giải từ lâu: lời giải luôn êm. Trong ba chiều, cái khó đến từ một hiện tượng gọi là kéo giãn xoáy. Một xoáy nước bị kéo dài thì quay nhanh hơn, như người trượt băng khép tay. Câu hỏi là ma sát có luôn kịp hãm cơn quay ấy không.
Năm một nghìn chín trăm ba mươi tư, Jean Leray chứng minh luôn tồn tại một dạng lời giải yếu, cho phép một chút gồ ghề. Nhưng lời giải yếu ấy có thật sự êm, có duy nhất hay không, thì gần chín mươi năm nay vẫn chưa ai trả lời trọn.
Chảy rối: thứ ai cũng thấy mà khó hiểu nhất
Liên quan chặt với câu hỏi trên là chảy rối. Mở vòi nhỏ, nước chảy thành sợi trong suốt. Mở to, dòng nước trở nên đục, xoáy, hỗn loạn. Khói thuốc lên thẳng rồi bỗng vỡ thành những cuộn xoắn.
Có một câu thường được gán cho nhà vật lý Richard Feynman, đại ý chảy rối là bài toán quan trọng nhất chưa giải được của vật lý cổ điển. Dù câu nói nguyên văn ra sao, tinh thần ấy được giới vật lý chia sẻ rộng rãi.
Năm một nghìn chín trăm bốn mươi mốt, nhà toán học Nga Andrey Kolmogorov đưa ra lý thuyết về dòng thác năng lượng: năng lượng đi vào ở những xoáy lớn, truyền dần xuống những xoáy nhỏ hơn, rồi nhỏ hơn nữa, cho tới khi bị ma sát biến thành nhiệt ở thang rất nhỏ. Lý thuyết của ông dự đoán đúng nhiều tính chất thống kê.
Trước đó, nhà khí tượng học Lewis Fry Richardson đã tóm tắt ý ấy trong một bài thơ vui, đại ý xoáy lớn có xoáy nhỏ ăn theo tốc độ của mình, xoáy nhỏ có xoáy nhỏ hơn, và cứ thế tới độ nhớt.
Những tiến bộ và những lối rẽ
Những năm gần đây có vài bước tiến đáng chú ý. Nhà toán học Terence Tao chỉ ra rằng một phiên bản trung bình hoá của phương trình có thể bùng nổ, gợi ý rằng mọi chứng minh lời giải luôn êm phải dùng tới cấu trúc tinh tế riêng của phương trình thật, chứ không chỉ những ước lượng chung.
Với phương trình Euler, phiên bản không có ma sát, một số nhóm nghiên cứu đã dùng máy tính hỗ trợ chứng minh chặt chẽ để chỉ ra sự bùng nổ trong những cấu hình có thành chắn. Đây là tiến bộ lớn, nhưng chưa trả lời câu hỏi cho phương trình có ma sát trong không gian tự do.
Các phương pháp số cũng được dùng để săn tìm những ứng viên lời giải bùng nổ, rồi cố biến chúng thành chứng minh. Ranh giới giữa tính toán và chứng minh đang mờ dần trong lĩnh vực này.
Giới chuyên môn chưa thống nhất câu trả lời sẽ là bùng nổ hay không. Đó là điều làm bài toán hấp dẫn: cả hai khả năng đều hợp lý.
Vì sao một nhà toán học quan tâm khi kỹ sư đã dùng tốt?
Người làm kỹ thuật có thể hỏi: máy bay vẫn bay, dự báo thời tiết vẫn chạy, cần gì chứng minh. Câu trả lời là hiểu biết về điểm kỳ dị cho ta biết giới hạn của mô hình. Nếu phương trình có thể bùng nổ, ta phải biết ở đâu, khi nào, để không tin mù quáng vào mô phỏng.
Hơn nữa, chảy rối vẫn là một trong những thứ tốn kém nhất để mô phỏng. Hiểu cấu trúc sâu của phương trình có thể dẫn tới mô hình rẻ hơn, chính xác hơn cho khí hậu, năng lượng, y học.
Và còn một lý do giản dị hơn: con người muốn hiểu những gì ta thấy hằng ngày. Một dòng suối chảy qua đá, một làn khói cuộn lên, đều đang giải những phương trình mà toán học chưa hiểu trọn.
Lần tới bạn ngồi bên suối, có thể ngắm những xoáy nước nhỏ và nghĩ rằng ngay trước mắt mình là một trong bảy bài toán lớn nhất thế kỷ.
Câu hỏi thường gặp
Phương trình Euler khác Navier và Stokes thế nào?
Phương trình Euler mô tả chất lỏng lý tưởng không có ma sát bên trong, còn Navier và Stokes thêm vào ma sát. Ma sát có xu hướng làm dòng chảy êm hơn, nên câu hỏi bùng nổ của hai phương trình có độ khó khác nhau.
Chảy rối có ngẫu nhiên không?
Phương trình là tất định, không có yếu tố ngẫu nhiên. Nhưng chảy rối nhạy cảm cực kỳ với điều kiện ban đầu, nên trong thực tế ta phải mô tả nó bằng thống kê.
Dự báo thời tiết dùng phương trình này thế nào?
Các mô hình thời tiết giải gần đúng những phương trình chuyển động của khí quyển, có gốc từ Navier và Stokes, trên lưới điểm phủ quanh Trái Đất. Độ chính xác bị giới hạn bởi kích thước lưới, dữ liệu ban đầu và tính hỗn loạn của khí quyển.
Ai giải được bài toán Navier và Stokes sẽ nhận gì?
Viện Toán học Clay treo giải một triệu đô la Mỹ cho lời giải được công nhận, dù là chứng minh lời giải luôn êm hay chỉ ra một trường hợp bùng nổ.
Số Reynolds là gì?
Số Reynolds là một con số không thứ nguyên so sánh quán tính với ma sát trong dòng chảy. Khi nó nhỏ, dòng chảy êm và có lớp; khi nó lớn, dòng chảy dễ chuyển sang rối.
