Ngô Bảo Châu nhận huy chương Fields năm hai nghìn không trăm mười vì đã chứng minh bổ đề cơ bản, một mệnh đề then chốt mà chương trình Langlands, mạng lưới giả thuyết lớn nối lý thuyết số với nhiều ngành toán khác, phải dựa vào. Nhiều kết quả lớn đã được viết sẵn với điều kiện bổ đề đúng, và chứng minh của ông biến chúng thành định lý.
Chào bạn, đây là Nhà Học Thuật. Ai cũng biết ông là người Việt Nam đầu tiên nhận giải Fields, nhưng ít người biết bổ đề ấy nói gì và vì sao nó quan trọng. Tập này mình không đi vào kỹ thuật, mà kể hình dáng của bài toán và cách ông mở được nó.
Chương trình Langlands: một bản đồ thống nhất
Cuối thập niên sáu mươi, nhà toán học Canada Robert Langlands viết một lá thư cho André Weil, phác ra những giả thuyết nối hai thế giới tưởng xa nhau: lý thuyết số, nghiên cứu nghiệm của các phương trình, và giải tích điều hoà, nghiên cứu những hàm có đối xứng cao.
Tầm nhìn ấy về sau được gọi là chương trình Langlands, và thường được ví như một kiểu lý thuyết thống nhất lớn của toán học. Chứng minh định lý cuối cùng của Fermat của Andrew Wiles thực chất là chứng minh một trường hợp nhỏ của tầm nhìn đó.
Một công cụ chính để tiến trong chương trình là công thức vết, cho phép so sánh hai phía. Nhưng để công thức vết làm việc được, cần một đẳng thức kỹ thuật giữa hai loại tích phân phức tạp. Langlands gọi nó là bổ đề cơ bản.
Trong toán học, chữ bổ đề thường chỉ một kết quả phụ, chứng minh nhanh để dùng cho định lý chính. Langlands và cộng sự ban đầu nghĩ nó sẽ không quá khó. Họ đã nhầm.
Ba mươi năm bế tắc
Bổ đề có thể kiểm tra cho những trường hợp nhỏ bằng cách tính toán trực tiếp, nhưng tính toán nhanh chóng trở nên khổng lồ khi trường hợp lớn dần. Không ai tìm ra con đường chung.
Trong khi đó, ngày càng nhiều công trình quan trọng được viết với giả thiết bổ đề cơ bản đúng. Chúng như những toà nhà xây trên một cái móng chưa được nghiệm thu. Giới toán học tin rằng bổ đề đúng, nhưng chưa ai chứng minh được.
Nhìn lại, độ khó của bổ đề đã bị đánh giá thấp nghiêm trọng. Cái tên khiêm tốn ấy trở nên trớ trêu: một bổ đề mà cả thế hệ nhà toán học không chứng minh nổi.
Một số trường hợp đặc biệt được giải dần qua các năm, trong đó có công trình của Gérard Laumon và chính Ngô Bảo Châu cho các nhóm unita, một lớp đối xứng quan trọng, khoảng giữa thập niên hai nghìn.
Nhìn bài toán đại số bằng con mắt hình học
Ngô Bảo Châu sinh năm một nghìn chín trăm bảy mươi hai ở Hà Nội, hai lần đoạt huy chương vàng Olympic Toán học quốc tế khi còn là học sinh, rồi sang Pháp học, làm luận án dưới sự hướng dẫn của Gérard Laumon.
Ý tưởng then chốt của ông là chuyển bài toán sang ngôn ngữ hình học. Các tích phân trong bổ đề có thể được hiểu như việc đếm điểm trên những đối tượng hình học. Ông dùng một cấu trúc do nhà toán học Anh Nigel Hitchin đưa ra từ nghiên cứu gốc vật lý, gọi là phân thớ Hitchin, như một khung lớn chứa tất cả các đối tượng cần đếm cùng lúc.
Thay vì vật lộn với từng tích phân riêng lẻ, ông nghiên cứu hình học của cả họ, rồi dùng những công cụ mạnh của hình học đại số hiện đại để chỉ ra rằng hai phía của đẳng thức phải bằng nhau.
Chứng minh cho trường hợp tổng quát hoàn tất khoảng năm hai nghìn không trăm linh tám và được công bố chính thức sau đó. Tạp chí Time xếp nó vào danh sách những phát hiện khoa học nổi bật của năm hai nghìn không trăm linh chín.
Huy chương Fields năm hai nghìn không trăm mười
Tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Hyderabad, Ấn Độ, năm hai nghìn không trăm mười, Ngô Bảo Châu được trao huy chương Fields, giải thưởng cao quý nhất cho nhà toán học dưới bốn mươi tuổi, trao bốn năm một lần.
Lời tuyên dương nhấn mạnh việc ông chứng minh bổ đề cơ bản bằng cách đưa vào những phương pháp hình học đại số mới. Nghĩa là giải thưởng ghi nhận không chỉ kết quả, mà cả việc mở ra một cách làm mới.
Với cộng đồng toán học thế giới, chứng minh này giải phóng hàng loạt công trình đang chờ. Với Việt Nam, đó là một khoảnh khắc đặc biệt, đưa toán học trở thành đề tài của cả những người không làm toán.
Ông về sau làm việc tại Đại học Chicago và tham gia dẫn dắt Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán ở Hà Nội, nơi tạo điều kiện cho các nhà toán học trong nước làm nghiên cứu.
Bài học từ một bổ đề
Câu chuyện bổ đề cơ bản có một bài học đẹp về cấu trúc của toán học: bài toán bế tắc ở một ngôn ngữ có thể trở nên khả thi khi được dịch sang ngôn ngữ khác. Đại số khó, hình học lại mở đường.
Nó cũng cho thấy toán học hiện đại mang tính tập thể. Chứng minh của Ngô Bảo Châu dựa trên công trình của Langlands, Laumon, Hitchin, Kottwitz, Waldspurger và nhiều người khác, kể cả những bước giảm bài toán về dạng dễ xử lý hơn do người khác làm trước.
Chương trình Langlands vẫn còn rất rộng và phần lớn chưa được chứng minh. Bổ đề cơ bản là một cánh cửa đã mở, không phải điểm cuối.
Và có lẽ chữ bổ đề, tưởng là một kết quả phụ, nhắc ta rằng trong khoa học không có gì là nhỏ cho đến khi ai đó thật sự làm được nó.
Câu hỏi thường gặp
Huy chương Fields khác giải Nobel thế nào?
Huy chương Fields chỉ trao cho nhà toán học dưới bốn mươi tuổi, bốn năm một lần, cho tối đa bốn người. Không có giải Nobel toán học; giải Abel là giải thường niên không giới hạn tuổi.
Bổ đề cơ bản có ứng dụng ngoài toán học không?
Trực tiếp thì rất ít, vì đây là toán học thuần tuý ở tầng sâu. Nhưng các cấu trúc liên quan như phân thớ Hitchin có liên hệ với vật lý lý thuyết, và chương trình Langlands có những mối nối bất ngờ với vật lý.
Ngô Bảo Châu học ở đâu?
Ông học phổ thông ở Hà Nội, rồi sang Pháp học đại học và làm luận án tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của Gérard Laumon. Ông từng làm việc ở nhiều nơi tại Pháp và Mỹ trước khi về Đại học Chicago.
Robert Langlands là ai?
Ông là nhà toán học Canada, làm việc nhiều năm tại Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton. Ông nhận giải Abel năm hai nghìn không trăm mười tám cho tầm nhìn nối lý thuyết biểu diễn với lý thuyết số.
Người không chuyên có thể tìm hiểu chương trình Langlands ở đâu?
Cuốn sách phổ biến của nhà toán học Edward Frenkel về tình yêu và toán học kể về chương trình Langlands cho người đọc rộng rãi, và có nhắc tới bổ đề cơ bản.
