Định lý Noether nói rằng cứ mỗi đối xứng liên tục của định luật vật lý thì có một đại lượng được bảo toàn. Năng lượng bảo toàn vì các định luật hôm nay giống hệt hôm qua. Động lượng bảo toàn vì định luật ở đây giống ở chỗ khác. Mô men động lượng bảo toàn vì định luật không ưu tiên hướng nào.
Chào bạn, đây là Nhà Học Thuật. Nhiều nhà vật lý xem đây là một trong những định lý đẹp nhất từng được chứng minh, vậy mà tên người chứng minh nó lại ít được biết ngoài giới chuyên môn. Tập này mình kể định lý nói gì, và kể về Emmy Noether.
Đối xứng là gì theo nghĩa của nhà vật lý?
Với người thường, đối xứng là hai nửa khuôn mặt giống nhau, hay hoa văn gạch bông lặp lại đều. Với nhà vật lý, đối xứng là một phép biến đổi mà sau khi làm, định luật vẫn y nguyên.
Làm một thí nghiệm hôm nay hay tuần sau, kết quả như nhau nếu điều kiện như nhau. Đó là đối xứng khi dời thời gian. Làm ở Hà Nội hay ở Cần Thơ, định luật như nhau. Đó là đối xứng khi dời chỗ. Quay bàn thí nghiệm hướng bắc hay hướng đông, cũng vậy. Đó là đối xứng khi xoay.
Những đối xứng này liên tục, nghĩa là có thể dời một chút xíu, xoay một chút xíu, chứ không chỉ lật một lần như ảnh trong gương.
Nghe thì hiển nhiên đến nhàm. Nhưng chính ở chỗ hiển nhiên ấy, Noether tìm ra một mối liên hệ không hề hiển nhiên.
Từ đối xứng tới bảo toàn
Định lý của bà nói: trong các hệ vật lý được mô tả theo một kiểu chuẩn, gọi là nguyên lý tác dụng tối thiểu, mỗi đối xứng liên tục sinh ra đúng một đại lượng không đổi theo thời gian.
Đối xứng khi dời thời gian cho ra bảo toàn năng lượng. Đối xứng khi dời chỗ cho ra bảo toàn động lượng, thứ giải thích vì sao súng giật lùi khi bắn. Đối xứng khi xoay cho ra bảo toàn mô men động lượng, thứ giải thích vì sao người trượt băng khép tay lại thì quay nhanh hơn.
Trước Noether, các định luật bảo toàn được xem như những sự thật riêng lẻ, phát hiện bằng thực nghiệm. Sau Noether, chúng là hệ quả của một nguyên lý sâu hơn. Không còn là năng lượng tình cờ bảo toàn, mà là năng lượng phải bảo toàn, nếu thời gian đồng nhất.
Chiều ngược lại cũng mạnh: thấy một đại lượng bảo toàn, nhà vật lý đi tìm đối xứng ẩn sau nó. Cách nghĩ này dẫn đường cho phần lớn vật lý hạt thế kỷ hai mươi.
Emmy Noether ở Göttingen
Emmy Noether sinh năm một nghìn tám trăm tám mươi hai ở Đức, con gái một nhà toán học. Thời ấy, phụ nữ gần như không được học đại học chính thức. Bà phải xin dự giảng, rồi mới được nhận làm tiến sĩ khi luật thay đổi.
Năm một nghìn chín trăm mười lăm, David Hilbert và Felix Klein mời bà về Göttingen, trung tâm toán học thế giới khi đó. Lý do cụ thể: họ đang vật lộn với câu hỏi năng lượng được bảo toàn thế nào trong thuyết tương đối rộng mới ra đời của Einstein, và cần chuyên môn của bà.
Nhiều giáo sư phản đối việc để một phụ nữ giảng dạy. Có giai thoại kể Hilbert đáp lại, đại ý đây là trường đại học chứ không phải nhà tắm. Trong nhiều năm, bà giảng bài dưới tên Hilbert và không được trả lương chính thức.
Định lý mang tên bà được công bố năm một nghìn chín trăm mười tám. Nó không chỉ trả lời câu hỏi của Hilbert, mà còn giải thích vì sao năng lượng trong tương đối rộng là một chuyện tế nhị hơn hẳn vật lý cổ điển.
Không chỉ vật lý: người mẹ của đại số hiện đại
Điều thú vị là với nhiều nhà toán học, định lý về đối xứng chỉ là một phần nhỏ trong sự nghiệp của Noether. Từ thập niên hai mươi, bà định hình lại đại số theo hướng trừu tượng: thay vì tính toán với những con số cụ thể, nghiên cứu cấu trúc của các phép toán.
Những khái niệm như vành và iđêan, mà sinh viên toán ngày nay học từ năm đầu, mang dấu ấn trực tiếp của bà. Cả một thế hệ học trò, thường được gọi là những cậu bé của Noether, mang cách nghĩ ấy đi khắp nơi.
Năm một nghìn chín trăm ba mươi ba, chính quyền mới ở Đức đuổi những người gốc Do Thái khỏi đại học. Noether sang Mỹ, giảng dạy ở trường nữ Bryn Mawr. Hai năm sau, bà qua đời đột ngột sau một ca phẫu thuật.
Einstein viết một lá thư đăng báo, đại ý gọi bà là thiên tài toán học sáng tạo quan trọng nhất kể từ khi phụ nữ được học lên cao.
Đối xứng: ngôn ngữ chung của vật lý hiện đại
Định lý Noether mở rộng sang những đối xứng trừu tượng hơn nhiều, không gắn với không gian hay thời gian. Ví dụ, bảo toàn điện tích gắn với một loại đối xứng bên trong của trường điện từ, gọi là đối xứng chuẩn.
Cả Mô hình chuẩn của vật lý hạt được xây trên đối xứng chuẩn. Các lực được hiểu như những thứ cần có để giữ cho một đối xứng đúng ở mọi điểm của không gian. Đây là một bước đi xa hơn cả những gì Noether có thể hình dung.
Đối xứng cũng có thể bị phá vỡ, và chính sự phá vỡ đối xứng giải thích nhiều hiện tượng, từ nam châm cho tới cơ chế Higgs cho hạt khối lượng.
Có lẽ không ngoa khi nói rằng nhà vật lý lý thuyết hôm nay nghĩ bằng ngôn ngữ đối xứng, và ngôn ngữ ấy có một người mẹ ít được nhắc tên. Lần tới thấy hoa văn gạch bông lặp lại đều, bạn có thể nhớ tới bà.
Câu hỏi thường gặp
Năng lượng có bảo toàn trong vũ trụ đang giãn nở không?
Đây là vấn đề tinh tế. Vì vũ trụ giãn nở thay đổi theo thời gian, đối xứng dời thời gian không còn đúng ở quy mô toàn vũ trụ, nên khái niệm tổng năng lượng bảo toàn không áp dụng đơn giản được. Nhiều nhà vật lý nói rằng ở quy mô đó năng lượng không bảo toàn theo nghĩa thông thường.
Đối xứng gương có sinh ra đại lượng bảo toàn không?
Đối xứng gương là đối xứng rời rạc, không phải liên tục, nên không thuộc phạm vi định lý Noether theo dạng gốc. Trong cơ học lượng tử, nó gắn với một đại lượng gọi là tính chẵn lẻ, và đại lượng này bị vi phạm trong lực tương tác yếu.
Định lý Noether có dùng ngoài vật lý không?
Có. Ý tưởng tương tự xuất hiện trong lý thuyết điều khiển, trong một số mô hình kinh tế động và trong giải số các phương trình vật lý, nơi giữ đúng đối xứng giúp mô phỏng ổn định hơn.
Vì sao Emmy Noether ít được biết tới?
Một phần vì bà làm việc trong lĩnh vực trừu tượng, một phần vì bối cảnh thời ấy hạn chế phụ nữ trong khoa học. Những năm gần đây, vai trò của bà được nhắc tới ngày càng nhiều trong giáo dục và truyền thông khoa học.
Nguyên lý tác dụng tối thiểu là gì?
Đó là cách mô tả chuyển động theo đó tự nhiên chọn con đường làm một đại lượng gọi là tác dụng đạt giá trị dừng. Hầu hết các lý thuyết vật lý cơ bản đều viết được theo cách này, và đó là điều kiện để áp dụng định lý Noether.
